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出品：科普中國(guó)
作者：Denovo
監(jiān)制：中國(guó)科普博覽
你或許也有過(guò)這樣的經(jīng)歷：搬家時(shí)，想在狹窄的空間里移動(dòng)家具，結(jié)果在轉(zhuǎn)彎時(shí)被卡住，怎么轉(zhuǎn)都轉(zhuǎn)不過(guò)去。數(shù)學(xué)家將這一難題稱為“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”。
2024年12月2日，韓國(guó)數(shù)學(xué)家白真允（Jineon Baek）在社交媒體上宣稱自己已解決這一問(wèn)題，隨即在國(guó)內(nèi)外媒體和數(shù)學(xué)界引發(fā)廣泛討論。也許你會(huì)好奇：看似一個(gè)與日常生活緊密相關(guān)的小問(wèn)題，到底有多難？
移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題涉及形狀如何適應(yīng)拐角的數(shù)學(xué)問(wèn)題
（圖片來(lái)源：加州大學(xué)戴維斯分校）
“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”是什么？
事實(shí)上，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”是一個(gè)經(jīng)歷了許多討論與探索的問(wèn)題。早在20世紀(jì)60年代，一些數(shù)學(xué)家就已經(jīng)開始探討與這一問(wèn)題相關(guān)的幾何優(yōu)化問(wèn)題。
1966年，奧地利裔加拿大數(shù)學(xué)家李?yuàn)W·莫澤（Leo Moser）在正式的數(shù)學(xué)刊物中首次提出了“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的明確數(shù)學(xué)定義和問(wèn)題描述：在寬度為1的L形平面走廊中，能夠通過(guò)一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎而不發(fā)生碰撞的“沙發(fā)”的最大面積是多少？這一問(wèn)題自此引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，并成為經(jīng)典的幾何優(yōu)化問(wèn)題之一。
移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題演示
（圖片來(lái)源：文獻(xiàn)[1]）
1968年，英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·邁克爾·哈默斯利（John Michael Hammersley）根據(jù)最簡(jiǎn)單的情形提出了一種解法。他將“沙發(fā)”設(shè)計(jì)成類似于一個(gè)電話聽筒的形狀，由兩個(gè)四分之一圓和一個(gè)中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個(gè)半圓形，從而得出的“沙發(fā)”最大面積為
。
哈默斯利設(shè)計(jì)的“沙發(fā)”
（圖片來(lái)源：維基百科）
1992年，美國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）在哈默斯利設(shè)計(jì)的“沙發(fā)”的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種由18條光滑曲線圍成的“沙發(fā)”，算出的最大沙發(fā)面積約為2.2195，進(jìn)一步提高了這個(gè)問(wèn)題解的下限。
杰弗設(shè)計(jì)的“沙發(fā)”
（圖片來(lái)源：維基百科）
又到了2014年，業(yè)余數(shù)學(xué)家菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）通過(guò)計(jì)算機(jī)演算得出了一種最優(yōu)沙發(fā)形狀，其與約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）設(shè)計(jì)的“Gerver沙發(fā)”幾乎相同，且計(jì)算出的面積在八位有效數(shù)字下相同。這一發(fā)現(xiàn)表明，杰弗設(shè)計(jì)的“沙發(fā)”很可能就是移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題的最優(yōu)解，不過(guò)這一點(diǎn)尚未得到數(shù)學(xué)上的正式證明。
不過(guò)，科學(xué)家們至少已經(jīng)確定了“沙發(fā)”面積的一個(gè)上限，也就是這個(gè)面積最大不能超過(guò)多少。哈默斯利指出了沙發(fā)常數(shù)的上限最多為2√2≈2.8284。2018年，約阿夫·卡魯斯（Yoav Kallus）和丹·羅米奇（Dan Romik）通過(guò)將走廊（而不是沙發(fā)）旋轉(zhuǎn)幾個(gè)不同角度，使旋轉(zhuǎn)后的走廊交集形成盡可能大的連接區(qū)域，并利用計(jì)算機(jī)搜索，成功將“沙發(fā)”的上限縮小至2.37。
也就是說(shuō)，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的最優(yōu)解在2.2195～2.37之間。
“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”到底難在哪？
看到這里，你可能會(huì)問(wèn)：“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”看起來(lái)如此直觀簡(jiǎn)單，為什么卻困擾數(shù)學(xué)家超過(guò)半個(gè)世紀(jì)？
盡管約瑟夫·杰弗已經(jīng)提出了一個(gè)近似最優(yōu)解，但要證明它就是真正的最優(yōu)解仍然非常困難，因?yàn)檫@需要排除所有可能存在的更優(yōu)形狀。而在平面內(nèi)，“沙發(fā)”的形狀可以千變?nèi)f化，最優(yōu)解很可能是一個(gè)不對(duì)稱、復(fù)雜且不規(guī)則的多邊形。
要探索所有可能的形狀并評(píng)估其面積和可移動(dòng)性，涉及極為龐大的計(jì)算量，這使得窮舉所有可能性成為不可能。此外，既缺乏對(duì)稱性和規(guī)則性，又能靈活轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的形狀在幾何上本身就非常復(fù)雜，因此，數(shù)學(xué)家們也難以找到一個(gè)通用的公式來(lái)解決這一問(wèn)題。
進(jìn)入新世紀(jì)后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)家們開始廣泛采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)路徑模擬，探索“沙發(fā)”可能的形狀。然而，即使是使用計(jì)算機(jī)輔助的數(shù)值方法和優(yōu)化算法，現(xiàn)有的算法在排除所有潛在的更優(yōu)形狀，以及探索和驗(yàn)證各種復(fù)雜形狀的可行性和面積時(shí)，依然常常面臨計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)和計(jì)算資源消耗過(guò)大的問(wèn)題，這在很大程度上限制了進(jìn)一步研究的進(jìn)展。
而近年來(lái)很火的機(jī)器學(xué)習(xí)在解決“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”時(shí)也受到很大限制。機(jī)器學(xué)習(xí)模型通常需要大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，而“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的解答主要依賴于理論推導(dǎo)和優(yōu)化算法生成的有限數(shù)據(jù)集，難以滿足大規(guī)模模型的訓(xùn)練需求。
此外，數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題往往需要高度可解釋和精確的解決方案，而機(jī)器學(xué)習(xí)模型的“黑箱”特性使其可能只能給出答案，給不出解決過(guò)程，這使得其難以直接應(yīng)用于此類問(wèn)題的求解。
“沙發(fā)”不僅需要通過(guò)直角轉(zhuǎn)彎，還必須避免與走廊的墻壁發(fā)生碰撞，這些多重約束條件使得優(yōu)化過(guò)程極為復(fù)雜?！耙苿?dòng)沙發(fā)問(wèn)題”涉及幾何學(xué)、優(yōu)化理論和計(jì)算幾何等多個(gè)學(xué)科的知識(shí)，因此需要跨學(xué)科的研究來(lái)尋找解決方案。
“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”真的被解決了嗎？
讓我們將目光轉(zhuǎn)向近期備受關(guān)注的白真允（Jineon Baek）那篇長(zhǎng)達(dá)119頁(yè)的論文。他宣稱，自己已證明由約瑟夫·杰弗設(shè)計(jì)的那款“沙發(fā)”就是最優(yōu)解。
白真允首先提出了最優(yōu)“沙發(fā)”的形狀限制條件：①沙發(fā)的形狀可通過(guò)旋轉(zhuǎn)走廊的交集定義；②沙發(fā)的邊長(zhǎng)需滿足特定的平衡條件；③必須能夠旋轉(zhuǎn)90度完成移動(dòng)。
接著，他證明了“沙發(fā)”在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其關(guān)鍵點(diǎn)的軌跡不自交（即沒(méi)有重復(fù)或重疊），形成平面上的簡(jiǎn)單閉曲線，從而確保了面積計(jì)算的嚴(yán)謹(jǐn)性。
Q(S)定義的圖示
（圖片來(lái)源：文獻(xiàn)[1]）
隨后，他構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)Q(S)作為“沙發(fā)”面積的上界，并利用Mamikon定理和Brunn-Minkowski理論證明了Q(S)是凹函數(shù)，這意味著它的局部最大值也是全局最大值。
最后，他驗(yàn)證了杰弗設(shè)計(jì)的“沙發(fā)”完全符合這些條件，且Q(S)的值在此達(dá)到最大，確認(rèn)其面積2.2195是理論上的最大值。
不過(guò)，這篇論文尚未見諸權(quán)威期刊，也未經(jīng)過(guò)廣泛的同行評(píng)審，目前學(xué)界對(duì)其證明的正確性和嚴(yán)謹(jǐn)性仍持觀望態(tài)度。要斷言“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”已經(jīng)徹底解決，恐怕還為時(shí)尚早。
結(jié)語(yǔ)
那么，徹底解決這個(gè)問(wèn)題究竟有什么意義呢？
除了在解決過(guò)程中開發(fā)的工具和構(gòu)造方法為其他幾何優(yōu)化問(wèn)題提供了新的思路外，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”還可以被抽象為一種空間利用的極限優(yōu)化模型，對(duì)建筑設(shè)計(jì)、家具制造以及物流管理等實(shí)際領(lǐng)域具有重要參考價(jià)值。例如，在狹窄空間中搬運(yùn)物體時(shí)快遞機(jī)器人的路徑規(guī)劃，生產(chǎn)流水線上的機(jī)械臂搬運(yùn)不規(guī)則物體時(shí)的空間路徑規(guī)劃，就可以從這一問(wèn)題的研究中獲得啟發(fā)。
讓我們靜待數(shù)學(xué)家們對(duì)白真允論文的審慎驗(yàn)證，共同期待這一困擾科學(xué)界60多年的難題最終得以圓滿解決。
參考文獻(xiàn)：
[1] Baek J. Optimality of Gerver's Sofa[J]. arXiv preprint arXiv:2411.19826, 2024.
[2] Gibbs P. A computational study of sofas and cars[J]. Computer Science, 2014, 2: 1-5.
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